Ejercicio de P.A. (N°1)

Problema:
Demuestre que si se conocen dos términos de una P.A., y sus respectivos lugares, es suficiente para determinar la P.A..


Desarrollo:
PRIMERO, ESTUDIAMOS LA INFORMACIÓN
Supongamos que el n-ésimo término es , y el m-ésimo término es .
Entonces: + (n-1)d = ,y, + (m-1)d =

SEGUNDO, ANALIZAMOS CÓMO USAR LA INFORMACIÓN
Del par de ecuaciones definidas anteriormente, asumimos que n m (Pues de no ser así, no tiene sentido estudiar una P.A. que tenga dos valores distintos en un sólo término n-ésimo = m-ésimo).
Luego, formamos un sistema de ecuaciones:
(1) + (n-1)d =
(2) + (m-1)d =

TERCERO, DESARROLLAMOS
Multiplicamos (2) por -1, se lo sumamos a (1), y nos queda:









Observamos que, se enfatiza matemáticamente que es incompatible el hecho de que "m" sea igual a "n".

Una vez obtenido el valor de "d", es sencillo encontrar , pues sólo debemos reemplazar valores en la fórmula:

Tomando:

o bien


Observación:
La fórmula:

Nos simplifica mucho el trabajo al momento de encontrar el valor de "d" en base a sus términos y posiciones.

Por ejemplo: si en una P.A. el séptimo término tiene valor 23, y el quinto término tiene valor 15, el valor de "d" lo calculamos fácilmente:



Observamos que llegamos el mismo valor si cambiamos de posición el con el , y el "m" con el "n".

Finalmente determinamos , reemplazando en:


Tomamos = 23, y por lo tanto n = 7, tendremos:
23 = + 4(7-1)
23 = + 4x6
23 = + 24
= -1

Ahora, si tomamos = 15, y por lo tanto n = 5, tendremos:
15 = + 4(5-1)
15 = + 4x4
15 = + 16
= -1

Sea cual sea los factores que tomemos, llegaremos al mismo

Sugerencia:
Subamos el nivel de ingenio, con las herramientas aprendidas en el ejercicio, resolver el siguiente problema:

Tenemos los siguientes datos:
a) El tercer término es 25.
b) El quinto término es 19.
c) El décimo término es 5.
d) El vigésimo término es -26.

Tres alternativas pertenecen a una misma P.A., y la restante está "infiltrada", descubra cuál es.
¿Se puede plantear este mismo problema con tres alternativas, siendo una de ellas la "infiltrada"? ¿Por qué?




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