Kotrensky: Ejercicios De Ciencias Exactas

Ejercicio de V.S. N°1

Problema:
Resolver la ecuación diferencial:
$\frac{dy}{dx}=\frac{1-x^2}{y^2}$

Respuesta:
$y=(3x-x^3+k)^\frac{1}{3}$

Donde K = 3C, C = cte. de integtración.

Desarrollo:
PRIMERO, SEPARAMOS VARIABLES:
$\frac{dy}{dx}=\frac{1-x^2}{y^2}$

$dy\cdot y^2=dx\cdot (1-x^2)$

SEGUNDO, INTEGRAMOS EN AMBOS LADOS:
$\int dy\cdot y^2=\int dx\cdot (1-x^2)$

$\frac{y^3}{3}=x-\frac{x^3}{3}+C$

FINALMENTE, DESPEJAMOS Y:
$y^3=3x-x^3+3C$

$y=\sqrt[3]{3x-x^3+3C}$

$y=(3x-x^3+K)^{\frac{1}{3}}$

Donde K = 3C, C= cte. de integración

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Ejercicio de P.A. (N°5)

Problema:
Calcula la suma de los n primeros términos de la progresión aritmética 2a-b, 4a-3b, 6a-5b...

Respuesta:
$an(1+n) - bn^{2}$

Desarrollo:
PRIMERO, EXTRAEMOS LOS DATOS:
Observamos que:
$a_{0}=2a-b$
y además:
d = 2a - 2b

SEGUNDO, ESTUDIAMOS QUÉ FÓRMULA USAR:
Directamente nos conviene usar:
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{0}+(n-1)d)$

TERCERO, REEMPLAZAMOS LOS VALORES:
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{0}+(n-1)d)$

$S_{n}=\frac{n}{2}(2(2a-b)+(n-1)(2a-2b))$

$S_{n}=\frac{n}{2}(4a-2b+2an-2bn-2a+2b)$

$S_{n}=\frac{n}{2}(2a+2an-2bn)$

$S_{n}=an +an^2 - bn^2$

$S_{n}=an(1+n) - bn^2$

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Ejercicio de P.A. (N°4)

Problema:
Calcule la suma de los 17 primeros términos de la progresión aritmética 49, 44, 39...

Respuesta:
153

Desarrollo:
PRIMERO, EXTRAEMOS DATOS:
Debemos deducir inmediatamente que:
$a_{0}=49$
también:
$d=-5$
y además, el "n" asociado es igual a 17.

SEGUNDO, ESTUDIAMOS QUÉ FÓRMULA USAR:
Directamente nos conviene usar:
$S_{n}= \frac{n}{2}(2a_{0}+(n-1)d)$

TERCERO, REEMPLAZAMOS VALORES:
$S_{n}= \frac{n}{2}(2a_{0}+(n-1)d)$

$S_{17}= \frac{17}{2}(2a_{0}+16d)$

$S_{17}= \frac{17}{2}(2\cdot 49+16\cdot -5)$

$S_{17}= \frac{17}{2}(98-80)$

$S_{17}= \frac{17}{2}\cdot 18$

$S_{17}= 17\cdot 9$

$S_{17}= 153$

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Ejercicio de P.A. (N°3)

Problema:
La suma de los 15 primeros términos de una P.A. es 600, y la diferencia es 5. Encuentre el primer término.

Respuesta:
$a_{0}=5$

Desarrollo:
PRIMERO, ORGANIZAMOS NUESTROS DATOS:
Nos hablan de "los 15 primeros términos", por lo tanto el "n" asociado es = 15
Luego, $S_{15}=600$
Y finalmente, d = 5

SEGUNDO, ESTUDIAMOS QUÉ FÓRMULA USAR:
Directamente nos conviene usar:
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{0}+(n-1)d)$

TERCERO, REEMPLAZAMOS VALORES:
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{0}+(n-1)d)$

$S_{15}=\frac{15}{2}(2a_{0}+14\cdot 5)$

$600=\frac{15}{2}(2a_{0}+14\cdot 5)$

$80=2a_{0}+70$

$80=2a_{0}+70$

$10= 2a_{0}$

$a_{0}=5$

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Ejercicio de P.A. (N°6)

Problema:
En una progresión aritmética, el primer término es 2, el último es 20, y la suma es 77. Encuentre la diferencia.

Respuesta:
d=3

Desarrollo:
PRIMERO, ORGANIZAMOS NUESTROS DATOS:
Primer término es 2, entonces: $a_{0}=2$
Último término es 20, entonces: $t_{n}=20$
La suma de los términos es 77, entonces: $s_{n}=77$

SEGUNDO, ESTUDIAMOS QUÉ FÓRMULAS USAR:
Queremos hallar "d", lo podemos hacer usando:
$t_{n}=a_{0}+(n-1)d$
Donde "n" representa la cantidad de términos desde el primero, $a_{0}$ , hasta el último, $t_{n}$ .
Sin embargo no tenemos el valor de "n", por lo que debemos recurrir a:
$s_{n}=\frac{n}{2}\left ( a_{0}+t_{n} \right )$
Reemplazando directamente obtenemos "n", y luego "d" en la primera fórmula.

TERCERO, REEMPLAZAMOS VALORES:
$s_{n}=\frac{n}{2}\left ( a_{0}+t_{n} \right )$

$77=\frac{n}{2}\left ( 20+2 \right )$

$77=\frac{n}{2}\left ( 22 \right )$

$77=11n$

$n=7$

Luego:

$t_{n}=a_{0}+(n-1)d$

$20 = 2 + 6d$

$18 = 6d$

$d=3$

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